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\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}}


\renewcommand{\algocommentfont}{\small\ttfamily\itshape}



\graphicspath{{/home/moi/IUT/Figures/}{/home/moi/VISA_III/figures_visa/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/2008_9/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2008_9/}{/home/moi/IUT/Thierry/Conversions/}{/home/moi/Photos/informathix/}{/home/moi/Lycee/Informatique/PafAlgo/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Biocam/robot/}{/home/moi/Biocam/CoursIni3d/}{/home/moi/Biocam/central/figures/}{/home/moi/Biocam/central/}{/home/moi/IUT/INFO2/Images/}{/home/moi/IUT/INFO2/2011_12/graphes/}{/home/moi/IUT/INFO1/CM1/}{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Lycee/TS/}{/home/moi/Lycee/TS/2009_10/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Figures/figuresTS/newcourbes/}{/home/moi/Figures/FigEspace/}{/home/moi/PROG/HASKELL/FLOAT/}} 



\newcommand{\illt}[4]{\begin{minipage}[t]{#3\linewidth}\vspace{0cm}#1\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{#4\linewidth}\vspace{-0.25cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[width=\linewidth]{#2}\end{flushright}\end{minipage}}

\newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}
\newcommand{\sh}{\operatorname{sh}}
%\newcommand{\cos}{\operatorname{cos}}
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%\newcommand{\exp}{\operatorname{exp}}
\newcommand{\E}{{\operatorname e}}

\usepackage{listing}

\lstset{
 language=sage,
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      \textcolor{gray!10}{\_}Python \textcolor{gray!10}{\_}}}}}

% %%% Fraction en oblique
\newcommand{\ofr}[2]{%
	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}


\newcommand{\RR}{\mathcal{R}}



%transposee
\usepackage{fouridx}
\newcommand*{\transp}[1]{\fourIdx{{\rm t}}{}{}{}{#1}}
\newcommand\tr{\vphantom{}^{\rm t}}

\newcommand{\dd}{\text{ d}}


\paper{DS-M3-12} % <- do not include FC, FT etc
%\version{0}                     % <- for multiple choice exams
\title{Devoir Surveillé - Probabilités}
\time{quatre-vingts  minutes / cent sept en cas de tiers temps} % <- number of hours: default is three
\semester{Troisième semestre}
\annee{2014-2015} % <- default is the current year

%\campus{City}
\note{\small \bfseries Vous justifierez vos réponses
    avec le plus grand soin. % N'oubliez pas qu'il serait maladroit de
   %  copier sur  votre voisin(e) qui  a, de toute façon,  écrit n'importe
   %  quoi. Toute enfreinte à  cette règle entraîne l'obtention d'une note
   % plutôt faible.
   UNE calculatrice (type lycée) est autorisée à l'exclusion de tout autre engin relié
    à un  quelconque réseau ou   pouvant faire office  de téléphone n'est
    autorisé.     Une feuille  de
      format A5 recto-verso  manuscrite %ou le poly de cours  distribué au mois de
     % février peuvent
 peut être consultée pendant le
      DS sous réserve d'acceptation du jury.
 Vous  ne rendrez  que les  feuilles  de réponses  (numérotées  de 3  à 6)  SANS
 L'AGRAFE et en écrivant
 votre nom sur les deux feuilles. Vous ne devez avoir sur la table que votre
 sujet, le brouillon distribué, éventuellement une calculatrice et 2 stylos.
    %N'oubliez pas que c'est compilator qui corrigera votre script...
}


\setlength{\parskip}{0em}
\begin{document} 





%%%% questions


%1
\begin{exercice}
\bigskip
On lance 10 fois de suite de manière indépendante une pièce de monnaie déséquilibrée qui donne FACE
avec une probabilité de $p$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminez la  loi de  probabilité de  la variable  aléatoire F  égale au
  nombre de FACE obtenus sur ces 10 lancers. 
\item On rappelle que la fonction \Colorbox{blue!10}{\lstinline{random()}} de la
  bibliothèque \Colorbox{blue!10}{\lstinline{random}} renvoie sur Python un flottant
  uniformément choisi entre 0 et 1.
Déterminez une fonction Python dépendant de  p et qui simule
\num{10000}   expériences  précédentes.   Cette  fonction   doit  retourner   un
dictionnaire dont les clés sont les valeurs prises par F et les valeurs sont les effectifs observés.

On  pourra utiliser  la fonction  \Colorbox{blue!10}{\lstinline{Counter}} de  la
bibliothèque \Colorbox{blue!10}{\lstinline{collections}}
\end{enumerate}
\end{exercice}


%2


\begin{exercice}
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{boule}
\end{center}
%\end{figure}


Le jeu de la  boule est un jeu de casino similaire à  celui de la roulette, mais
avec les chiffres de 1 à 9.
Il est possible de miser sur rouge, noir, un numéro.

 Les chiffres 1, 3, 6, 8 sont noirs. Les chiffres 2, 4, 7, 9 sont rouges. 

Le chiffre 5 n'est ni rouge, ni noir. Si le 5 sort, la mise jouée sur une couleur perd.

Si la couleur misée sort, le joueur  gagne 2 fois la mise, sinon la mise
est perdue.

Si le numéro misé sort (5 compris), le joueur gagne 8 fois la mise sinon la mise est perdue.

Dans un casino du Sud-Ouest, le jeu  de boule est constitué de 27 logements pour
la boule 
numérotés uniformément entre 1 et 9 (il y a trois 1, trois 2, etc.).




\begin{enumerate}
\item  Un joueur  mise $a$  \texteuro\  sur une  couleur. Soit  $C$ la  variable
  aléatoire correspondant au  gain associé. Trouvez la loi de  $C$ puis calculez
  $\bbe(C)$ et $\sigma(C)$. 


\item  Un  joueur mise  $a$  \texteuro\  sur un  numéro.  Soit  $N$ la  variable
  aléatoire correspondant au  gain associé. Trouvez la loi de  $N$ puis calculez
  $\bbe(N)$ et $\sigma(N)$. 
 

\end{enumerate}

\end{exercice}


%4


\begin{exercice}
\bigskip
On rappelle que 
$\displaystyle\sum_{n=0}^{+∞}\frac{1}{n!}={\rm e}$
avec e la base du logarithme népérien.

Soit    X   une   v.a.r.    telle   que    $X(\Omega)=\bbn^\star$   et
 $\Pr{}(\{X=n\})=\frac{\lambda}{n!}$.
 \begin{enumerate}
   \item Déterminez $\lambda$ pour que Pr vérifie le deuxième axiome de Kolmogorov.
   \item Calculez $\bbe(X)$.
  % \item Calculer $\bbe \left(\frac{1}{1+X}\right)$
 \end{enumerate}

\end{exercice}


% 3

\begin{exercice}
\bigskip
  Le craps  (ou la passe  anglaise) est un  jeu de dé. On  jette deux dés  et on
  additionne les numéros  des faces obtenues. Si  on obtient 7 ou  11 du premier
  coup on gagne. Si on obtient 2, 3 ou 12 du premier coup, on perd. 

Dans les  autres cas, on  rejoue jusqu'à obtenir à  nouveau la somme  obtenue en
premier mais si on fait 7, on perd.

Par exemple, la séquence  6 5 8 12 5 10  6 est gagnante, la séquence 6  5 8 7 est
perdante.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{Craps.jpg}
\end{center}
%\end{figure}

\begin{enumerate}
\item On lance deux dés. On note S la somme des faces obtenues. Donnez la loi de
  probabilité de S.
\item Quelle est la probabilité de gagner après un lancer? Quelle est la probabilité
  de perdre après un lancer?
\item Supposez que le premier lancer donne une somme de 5. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de gagner au lancer suivant (le deuxième)  sachant que  le premier
  lancer donne une somme de 5? De
  perdre au deuxième lancer sachant que  le premier
  lancer donne une somme de 5? De continuer à lancer  sachant que  le premier
  lancer donne une somme de 5.
\item Quelle est la
  probabilité de gagner au troisième lancer  sachant que  le premier
  lancer donne une somme de 5? Au
  $n$-ème lancer  sachant que  le premier
  lancer donne une somme de 5? 
\item Complétez un arbre de ce style avec les probabilités utiles:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped]
\node {5} 
[sibling distance = 1cm, level distance = 3cm]
   child{node {Gagné}}
   child{
     node{Continue}
     child{node {Gagné}}
     child{
       node{Continue}
       child{node {Gagné}}
       child{
         node{...}
       }
       child{node {Perdu}}
     }
     child{node {Perdu}}
   }
   child{node {Perdu}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item Déduisez-en  la probabilité  de gagner  sachant que  le premier
  lancer donne une somme de 5. On rappelle que 
$$\forall      q\in\bbr,\     |q|<1      \limp     \displaystyle\sum_{n\geqslant
  0}^{}q^n=\frac{1}{1-q}$$
\item  Déduisez-en  la probabilité  de  gagner  au  craps. Vous  donnerez  votre
  résultat sous forme de fraction  irréductible ou sous forme décimale approchée
  à $10^{-2}$ près. Le jeu est-il équitable?

\end{enumerate}
% \item Quelle  est la  probabilité que le(a)  lanceur(se) lance  exactement trois
%   fois les dés? Que la partie dure plus de trois lancers?




\end{enumerate}


% Dressez un  automate comportant 6  états: \og début\fg{}, \og  défaite\fg{}, \og
% victoire\fg{}, \og  attente de  5 ou 9\fg{},  \og attente de  4 ou  10\fg{}, \og
% attente de 6 ou 8\fg{}.

% Deux états sont  reliés par une transition qui indique  la probabilité de passer
% d'un état à l'autre. On ne  représentera que les transitions de probabilité non
% nulle. On n'oubliera pas les boucles.

% Déterminez la probabilité de gagner après 4 lancers.
\end{exercice}





% %5

% \begin{exercice}
% \bigskip
% On considère une source  binaire d'information constituée d'une suite de
% 1 et  de 0 indépendants et  équiprobables. La source  émet à destination
% d'un récepteur à travers un canal de transmission bruyant entraînant des
% erreurs éventuelles en réception. 

% Soit $p$ la probabilité, commune,  qu'un bit émis soit détecté comme son
% complémentaire. On suppose que les  erreurs commises sur chaque bit sont
% indépendantes mutuellement.

% Pour tenter  de lutter contre ce  bruit, on utilise  le protocole simple
% suivant:

% \begin{itemize}
% \item à l'émission, on répète une fois chaque bit;
% \item à la  réception, la réception de $(b,b)$  entraîne la détection du
%       symbole $b$;  la réception de $(b,\overline{b})$ donne  lieu à une
%       demande   de   retransmission   d'un   nouveau  couple   de   bits
%       identiques. On continue tant qu'un couple $(b,\overline{b})$ est reçu.
% \end{itemize}


% \begin{enumerate}
% \item On  veut transmettre  l'octet 00001001. Qu'émet-on?  Donnez un  exemple de
%   message  que le  récepteur va  refuser. Donnez  un exemple  de message  que le
%   récepteur va accepter alors qu'il ne correspond pas au message émis.

% \item On s'intéresse à la transmission d'un  seul bit, par exemple 0. Quelle est
%   la probabilité  que le récepteur  commette une  erreur (i.e. considère  que le
%   message émis est 1)? Vous exprimerez votre réponse en fonction de $p$.

% \item Soit N la v.a.r. donnant le nombre de symboles émis par l'émetteur
%       pour que le récepteur accepte la  transmission (que le bit accepté soit le
%       bon ou pas). Étudiez la loi de N.
% \end{enumerate}

% \end{exercice}



























%%% réponses

\answersheet


%1
\begin{exercice}
\begin{enumerate}
 
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{3cm}
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{5cm}
\end{enumerate}


\end{exercice}



%2

\begin{exercice}
  
\begin{enumerate}
 
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{6cm}

\eject

  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{9cm}
\end{enumerate}

\end{exercice}



%3

\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
 
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{6cm}
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{5cm}
 

  \end{enumerate}
\end{exercice}




\eject
\answersheet
\setcounter{ex}{4}

%4


\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
 
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{6cm}
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
   \begin{enumerate}
   \item \textcolor{white}{.}
\vspace{6cm}
\item \textcolor{white}{.}
\vspace{6cm}
\item \textcolor{white}{.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped]
\node {5} 
[sibling distance = 1.5cm, level distance = 4cm]
   child{node {Gagné}}
   child{
     node{Continue}
     child{node {Gagné}}
     child{
       node{Continue}
       child{node {Gagné}}
       child{
         node{...}
       }
       child{node {Perdu}}
     }
     child{node {Perdu}}
   }
   child{node {Perdu}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\vspace{3cm}
\item \textcolor{white}{.}
\vspace{5cm}
\item \textcolor{white}{.}
\vspace{10cm}
   \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}
